Главная

Лекция 4 (продолжение). Задачи для самостоятельного решения

Содержание

Геометрические характеристики простых сечений

Геометрические характеристики сложных сечений

Геометрические характеристики простых сечений

Задача 1.

Относительно какой из множества параллельных осей осевой момент инерции принимает наименьшее значение?

Задача 2.

Относительно какой из множества параллельных осей в пределах площади равностороннего треугольника осевой момент инерции принимает наибольшее значение?

Задача 3.

Какой из двух моментов инерции квадратного сечения больше: относительно центральной оси, параллельной сторонам или относительно оси, совпадающей с диагональю?

Задача 4.

В каких случаях можно без вычислений установить положение главных осей инерции фигуры?

Задача 5.

Не прибегая к интегрированию, найдите центробежный момент инерции прямоугольного треугольника относительно центральных осей, параллельных катетам.

Задача 6.

Докажите, что если для данной плоской фигуры главные моменты инерции равны между собой, то любая ось, проходящая через начало координат, является главной.

Задача 7.

Для произвольной плоской фигуры найдите геометрическое место точек, относительно которых сечение имеет одинаковую величину полярных моментов инерции.

Задача 8.

Для плоской фигуры найдите точку, обладающую тем свойством, что все проходящие через нее оси являются главными.

Задача 9.

Для прямоугольника высотой h и шириной в определить, во сколько раз увеличатся момент инерции и момент сопротивления относительно центральной оси x, если увеличить вдвое:

1) высоту h или

2) ширину в.

Ответ: увеличатся: 1) J _x в восемь раз, W_x – в четыре; 2) J _x и W_x – вдвое.

Задача 10.

Составить выражения для осевых и центробежных моментов инерции прямоугольника со сторонами в и h относительно центральных осей x и y, повернутых на угол 30⁰ к главным осям. Какой вид примут полученные выражения для квадратного сечения со стороной а ?

Ответ: для квадрата

Задача 11.

Определить осевые моменты инерции прямоугольника высотой h и шириной b относительно осей х и у, являющихся его осями симметрии (см. рис.).

Ответ: I_x = bh³/12; I_y = hb³/12.

Задача 12.

Определить статический момент S_x поперечного сечения в виде равнобокой трапеции (см. рис.). Найти положение центра тяжести С. Вычислить главные моменты инерции относительно главных осей х_с, у. Можно ли применить полученные результаты для вычисления соответствующих геометрических характеристик поперечных сечений в виде равнобедренного треугольника и прямоугольника?

Ответ:

Задача 13.

Покажите, что для прямоугольного сечения с отношением сторон h/b=2 любые оси, проведенные через середину одной из длинных сторон, являются главными.

Задача 14.

Определите указанные ниже величины.

Задача 15.

Как изменится момент инерции и момент сопротивления квадрата со стороной а относительно оси х, если сечение повернуть на угол 45⁰, оставив ось х горизонтальной.

Ответ: момент инерции не изменится; момент сопротивления уменьшится на 41%

Задача 16.

Сравнить величины моментов инерции относительно центральной оси х сечений прямоугольника, квадрата и круга при условии, что площади F всех трех сечений одинаковы.

Ответ: а) I_х=0,167F²; б) I_х=0,0833F²; в) I_х=0,0797F²

Задача 17.

Для прямоугольника со сторонами в=2 см и h=3 см определить положение главных осей, проходящих через точку О, и вычислить главные моменты инерции.

Ответ:

Задача 18.

Найти моменты инерции полукруга относительно главных центральных осей инерции (см. рис.).

Ответ:

Задача 19.

Определить статические моменты плоского прямоугольного сечения относительно осей х и у (рис. 1).

Определить координаты центра тяжести плоского сечения в форме половины круга радиусом R (рис. 2).

Ответ к рис. 1: S_x = bh²/2; S_y = hb²/2.

Задача 20.

Определить координаты центра тяжести плоского сечения, ограниченного осью х, квадратной параболой x = hy²/b² и прямой линией х = h (рис. 1).

Определить координаты центра тяжести плоского сечения, ограниченного осью х, кубической параболой x = hy³/b³ и прямой линией x = h (рис. 2).

Определить координаты центра тяжести плоского сечения, ограниченного осью у, кубической параболой x = hy³/b³ и прямой линией у = в (рис. 2).

Решение к рис.1. Для нахождения центра тяжести воспользуемся формулами В первую очередь по формуле определяем площадь поперечного сечения

Затем по формулам находим статические моменты сечения:

И, окончательно, по формулам определяем

Ответ к рис 1: x_1c = 0,375b; y_1c = 0,6h.

Ответ к рис 2: x_1c = 4h/7; y_1c = 0,4b.

Ответ к рис.3: x_2c = 2h/7; y_2c = 0,8b.

Геометрические характеристики сложных сечений

Задача 1.

Сравнить моменты инерции относительно горизонтальной оси х двух равновеликих прямоугольных сечений, ослабленных вырезами одинаковой площади.

Ответ:

Задача 2.

Определить положения центра тяжести сечения и его моменты инерции I_x и I_y относительно центральных осей. а=10 см.

Задача 3.

Сравнить моменты сопротивления W_х двух равновеликих прямоугольных сечений, ослабленных вырезами одинаковой площади F=2а²

Ответ:

Задача 4.

Плоская фигура состоит из полукруга и квадрата со стороной а=10 см. Определить разность моментов инерции относительно главных осей, проходящих через точку О.

Ответ:

Задача 5.

Определить положение центра тяжести сечения и его моменты инерции I_х и I_у относительно центральных осей при а=10см.